شتاب درحركت دايره اي يكنواخت

بردارهاي سرعت متحركي كه برروي مسيردايره اي حركت مي كند مطابق شكل مقابل است.   سرعت متحرك درزمانt₁ ودرمكانسرعت آن در زمانt₂ و درمكان مي باشد.بردارهاي بر بردارهای   عمودهستند.چون حركت ذره يكنواخت است،بزرگي سرعت آن ثابت است اماجهت بردارسرعت تغييرمي كند.درشكل پايين ازنقطه  'O بردارهاي همسنگ بردارهاي  V₁ و  V₂  رسم شده اند.دومثلث OAB ,   O'A'B'    متشابه اند زيرا دو ضلع با يك زاويه برابردارند.درنتيجه داريم:

هنگامي كه   Dt  به سمت صفر ميل مي كند،داريم:

تا اينجا اندازه شتاب درحركت دايره اي يكنواخت رابه دست آورديم.اكنون بايد راستا و سوي آنرا نيز تعيين كنيد.درشكل مقابل             است. هنگامي كه Dt  به سمت صفرميل ميكند ،  DQ  نيز به سمت صفر ميل مي كند.درنتيجه    مي شود.يعني    برراستاي    عمودمي شود.ازطرف ديگرچون     همواره بربردارمكان  (شعاع دايره)عموداست،    در راستاي شعاع قرارمي گيرد . و چون بردارشتاب درجهت بردار   است،سوي آن به طرف مركز خواهدبود.به اين دليل شتاب

درحركت دايره اي يكنواخت ، شتاب مركزگرا ناميده مي شود.

بزرگي شتاب حركت ماه به دورزمين رامحاسبه كنيد.(فاصله متوسط ماه اززمين 4.8*108متراست). جواب: درتمرين(2-6)سرعت زاويه اي ماه رامحاسبه كرديم.خواهيم داشت:

مثال:

اتومبيلي پيچ جاده ايي به شعاع100مترراباسرعت ثابت15متربرثانيه مي پيمايد.شتاب مركزگراي اين اتومبيل رامحاسبه كنيد.

جواب:

ديناميك حركت دايره اي يكنواخت

ديديم كه در حركت دايره اي يكنواخت،شتاب جسم درراستاي شعاع مسيرو به سوي مركز است.بنابر قانون دوم نيوتن شتاب و نيرو هم جهت اند.درنتيجه درحركت دايره اي يكنواخت،برايند نيروهاي وارد برجسم درراستاي شعاع و به سوي مركز خواهد بود.از اين رو برايند نيروهاي وارد بر جسم ،درحركت دايره اي رانيروي مرگزگرا مي نامند.داريم:

 ازطرفي داريم:

درروابط بالاF  بزرگي برايند نيروهاي وارد برجسم درراستاي شعاع دايره است.

مثال1:

روي يك سطح افقي بدون اصطكاك گلوله اي به جرم 100gr رابه انتهاي نخي به طول  50cm بسته وسرديگرنخ رابه نقطه ثابتي ازسطح افقي گره مي زنيم.نخ رابه حالت كشيده نگاه مي داريم و گلوله را روي سطح به چرخش در مي آوريم.نيروهاي وارد برگلوله رابا رسم شكل مشخص كنيد.اگربسامد چرخش گلوله 2Hz باشد،بزرگي نيروي كشش نخ رانيزمحاسبه كنيد.

جواب:

نيروهاي واردبرگلوله درشكل مقابل نشان داده شده اند.درراستاي قائم،نيروي وزن ونيروي عمودي تكيه گاه برجسم اثرمي كند.برايند اين دونيرو صفراست:

  براي محاسبه نيروي كشش نخ نيزداريم:

نيروي مركز گرادرهريك ازموارد زير،چه نيرويي است؟ 1-درحركت لباسهايي كه درماشين لباسشويي مي چرخند. 2-درحركت الكترون به دورهسته. 3-درحرك سياره ها به دورخورشيد. جواب: 1-نيروي واكنش سطح جداره داخلي مخزن لباسشويي. 2-نيروي الكتريكي              3-نيروي گرانش

مثال2-

درجاده سازي،سرپيچ ها،شيب عرضي ايجاد مي كنند.تااتومبيل ها بدون خطر انحراف و خارج شدن ازمسير،جاده راطي كنند.زاويه شيب عرضي جاده با راستاي افق چقدر باشد،تاهنگامي كه اتومبيل با بيشينه سرعت مجاز پيچ جاده رامي پيمايد ، ازمسير جاده منحرف نشود.(اصطكاك درعرض جاده قابل چشم پوشي است.)

جواب:

نمودارنيروهاي وارد بر اتومبيل درپيچ جاده مطابق شكل مقابل است.داريم:

 نيرويي كه به طرف مركزپيچ به اتومبيل وارد مي شود و ازخارج شدن آن ازپيچ جلوگيري مي كندنيروي N sina است.يعني:

طرفين رابطه بالارابهg ضرب مي كنيم.نتيجه مي شود:

ازطرفيmg برابر  Ncos a است پس:

دراين رابطه  r  شعاع انحناي جاده و  V بيشينه سرعت مجازدرپيچ مي باشد.

دريك پيچ جاده حاكثرسرعت را 40km/hنوشته اند.اگرشعاع چرخش دراين پيچ  50m  باشد،زاويه شيب عرضي جاده راباافق محاسبه كنيد. جواب:

قانونهاي كپلردرموردحركت سيارات

قانون اول:

تمام سياره هادرحركت خود به دور خورشيد،يك بيضي رامي پيمايندكه خورشيد درمحل يكي ازكانونهاي بيضي است.

قانون دوم:

شعاع حامل هرسياره(خطي كه خورشيدرابه سياره وصل مي كند)در زمانهاي مساوي مساحت هاي مساوي راجاروب مي كند.

قانون سوم:

مجذوردوره هرسياره به دورخورشيد با مكعب فاصله ميانگين آن ازخورشيدمتناسب است.يعني اگرT  دوره سياره وr فاصله ميانگين آن ازخورشيد باشد،نسبت   براي تمام سياره ها يكسان است.